Безкрайността - най-висшата форма на абстракция

  Концепциите за безкрайността са известни още от дълбока древност. Разбира се, това не би трябвало да звучи странно, тъй като тя изниква в съзнанието ни почти интуитивно, когато започнем да броим. Къде свършват числата? Отговорът на този въпрос не би затруднил никой. Числата просто нямат край. Към всяко едно число колкото и голямо да бъде то, можем да прибавим единица и вече имаме ново по-голямо число от предходното. Да повторим тази стъпка още веднъж и към новополученото число прибавим единица, сега вече имаме ново по-голямо число. Този процес можем да повтаряме безброй пъти и всеки път ще получаваме по-голямо число от това преди него.

    Започнем ли да изследваме, и да мислим за безкрайността ни предстои, да се натъкнем на някои изключително странни нейни свойства, които умът ни много трудно може да асимилира и приеме. Тук ще покажа само един от парадоксите на безкрайността. Много от вас сигурно са го срещали, но други може и да не са запознати с него.

    Нека разгледаме редицата на естествените числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12............. .
Очевидно тя се състой, от всички четни, и всички нечетни числа, които имат еднакъв брой. Първите няколко четни числа от редицата на естествените са 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20......... .

    Да запишем сега, редицата на естествените числа и редицата от четните числа, една под друга.

1, 2, 3, 4,  5,   6,   7,   8,   9,  10..........

                                                                                                       

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20..........

Сега, нека на всяко число от горната редица, съпоставим число от долната редица. Например, на числото едно от горната редица, съответства числото две от долната редица. На числото две от горната редица, съответства числото четири от долната редица и т.н. Продължавайки този процес на съпоставяне до безкрайност виждаме, че двете редици от числа имат равен брой членове, защото на всяко число от горната редица, винаги ще съществува число от долната, което да му съответства. Някой от Вас би възкликнал "Но как така! Нали горната редица, която съдържа всички четни и нечетни числа е два пъти по-голяма от долната, която съдържа само четните числа!" Объркващо нали? Този парадокс се получава, защото и двете редици са безкрайни и се състоят от числа, които имат наредба (т.е. те са изброими). На математически език казано, двете редици имат един и същ порядък на безкрайност. Отново нещо странно, нали? Да, в математиката има различни безкрайности. Множеството на реалните числа има по-голям порядък на безкрайност от този на естествените.

    Математикът, който пръв изследвал в подробност, този странен свят на числа, множества, и безкрайности е Георг Кантор. Създател е на една от най-фундаменталните теории в математиката - Теория на множествата. Освен тази теория, безкрайността лежи в основите на математическия анализ, фракталната геометрия, и въобще в основата на самата математика. 

    Друго кътче на науката, където можем да срещнем безкрайността, това е физиката. Някои от най-популярните загадки на физиката са предизвикани именно от безкрайността. Например, не е известно, какво става в ядрото на черна дупка (счита се, че ядрото е точка с безкрайна маса и безкрайна плътност или позната още, като точка на сингулярност) или, какво е било в самото начало на Големия взрив (и в този случай се счита, че в самото начало преди Големия взрив Вселената е била точка на сингулярност). Не е известно и дали Вселената е безкрайна или някъде в необятните и дебри, пространството се затваря. За разлика от математиката във физиката, безкрайността почти винаги носи проблеми за учените. Това е така, защото безкрайността е недостижима, тя е абстрактно понятие, с което неможем да опишем нищо от материалния свят (освен може би времето и размера на Вселената според досега известните теории).

За изкуствения интелект и "животът" в математическия формализъм

 

   Навярно един от най-вълнуващите въпроси на човечеството от векове насам е дали сме сами във Вселената. Този въпрос до ден днешен няма еднозначен отговор. Някои хора вярват, че извънземен разум съществува, а други, че ние сме единствените обитатели на огромната Вселена.

    С развитието на компютърната техника през последните няколко десетилетия, започна да се говори и за още един вид форма на "живот", наричан изкуствен интелект. Този вид "живот" също има, както поддръжници така и много противници. Факт е обаче, че все повече хора започват да се занимават с програмирането и създаването на "умни" роботи, които да заместят човешката дейност във все повече области. Въпреки всичко обаче, истински изкуствен интелект, който да издържи теста на Тюринг след, който можем да кажем, че има наличие на някаква форма "съзнание" няма.

    

    Нека разгледаме йерархията на всички възможни математически структури, започвайки от най-простите крайни множества от точки, които са свързани с някакви правила (теореми), после достигнем до геометриите, бройните системи, аритметиката на целите числа, аритметиката на рационалните числа, аритметиката на реалните числа, след това сложни структури, като групи и т.н. продължавайки безкрайно да се изкачваме по стълбата на сложността. Сега да се запитаме, кой то тези структури могат напълно да опишат съзнателни същества. Ако вземем аксиомите на една от тези логически системи и постепенно изведем от тях всички верни съждения, като използваме установените правила за дедукция ще видим пред себе си, една безкрайна мрежа от логически истини. Тогава ако тази мрежа от истини ни отведе до структури, които напълно описват онова, което наричаме "съзнание", тогава за нея можем да твърдим, че е "жива" в някакъв смисъл. Но къде би "живяла" тази съвкупност от безкрайно сложни структури, къде би се намирало нейното "съзнание"?

    В книгата на Роджър Пенроуз "Новият разум на царя" авторът повдига подобен въпрос разглеждайки един мисловен експеримент. Нека да си представим, че съществува книга, която да съдържа пълно описание на мозъка на Алберт Айнщайн. На всеки въпрос, който човек може да зададе на Айнщайн може да се отговори точно, както би отговорил Айнщайн. Достатъчно е само човек да прелисти книгата и да открие отговора на въпроса си. Значи ли това, че книгата е "жива" и представлява копие на Айнщайн. След като предполагаме, че книгата изцяло описва онази безкрайно сложна структура, която описва "самия" Айнщайн то би трябвало книгата да е Айнщайн.

    Ще отбележа, че твърденията, които разгледахме до тук са подкрепят, от така наречените "поддръжници на силния изкуствен интелект". Дали обаче той може да бъде създаден, и какви биха били последиците от това нещо ще отговори само бъдещето.

Фрактали - формите на природата

(множеството на Манделброт)

      В динамичното и информационно общество в което живеем, навярно повечето от вас са чували думичката фрактал, или пък сте я срещали някъде из интернет, но може би само дотам.... :) . (Извинявам се на хората които вече знаят, какво всъщност са фракталите.)

      Та така, какво представляват фракталите, от къде са се появили, за какво и на кого служат? На тези въпроси ще се опитам да отговоря в следващите редове.

      

      Фракталите (от лат. fractus, счупен) са геометрични обекти, които се генерират от повтаряща се схема или итерационен процес (Ако някой се затруднява от казаното ще се опитам да дам аналогия, която строго научно не е коректна, но ще помогне да се разбере в основни линии какво значи да се генерира фрактал. Да вземем за пример отсечката, която  генерираме, като просто вземем линийката и начертаваме с нейна помощ права линия с определена дължина. При фракталите се взима някаква формула, която повтаря някакви изчисления многократно компютъра или човека извършват тези изчисления  и чертаят на екрана или на лист хартия някакъв образ, който образ наричаме фрактал.)

      Най-важните характеристики на фракталите са самоподобие (отделни части приличат на целия фрактал) и безкрайната подобност, която се запазва независимо от увеличаването на мащаба.

С други думи фракталът е подобен на себе си във всеки мащаб.

      Съществуват различни видове фрактали:

• Геометрични фрактали - такъв фрактал например е триъгълника на Серпински;
• Алгебрични фрактали - такъв фрактал е фрактала на Манделброт (може би най-популярният фрактал);
• Фрактални клъстъри (DLA) - такива фрактали са например снежинките;
• Брауново самоподобие - ако начертаем траекториите на микрочастиците движещи се в чаша с вода например ще получим една "плетеница" от криви линии, която ще има фрактална структура;

   
       Изследването на фракталите е започнало много преди те да бъдат наречени по този начин. Едни от пионерите в тази област са Вайерщрас, по-късно Кох, Леви, Кантор (Канторовите множества наречени още прах на Кантор също се определят като фрактали, макар че в работата си Кантор никога не се е занимавал с фрактали, или поне не познаваме такива негови работи.), Жулия (множество на Жулия), Манделброт и др.

      Фракталите намират много широки приложения в различни области на знанието, като например: медицината, икономиката, фондовите борси, сеизмологията, геологията и др.

Фрактални структури се срещат и много често в природата, най-вече сред растенията. Това е така, защото повечето от тях се разклоняват на все по-малки и по-малки клонки. Така клонче от дървото наподобява цялото дърво, защото от това клонче излизат други по-малки клончета и т.н. При животните фрактални форми можем да срещнем при коралите, медузите, морските звезди, черупките на мекотелите, леопардовите петна, ивиците на зебрата и много др.